Posizione Casuale
Posizione CasualeEsploratore Terra
📐 Guida e Dimostrazione Matematica

Come Funzionano le Coordinate Casuali: La Verità Sferica

Perché la maggior parte dei generatori è matematicamente errata e come la proiezione sferica equivalente produce punti uniformi.

📐 Precisione Matematica

Distribuzione Sferica Equivalente vs. Errore di Bias Polare

La maggior parte dei generatori gratuiti tratta la Terra come un rettangolo. Ecco come il nostro algoritmo garantisce rigore assoluto.

❌ Griglia Piana Ingenua (Errore Comune)

Errato
// ❌ Flat 2D Rectangular Bug:
const lat = (Math.random() * 180) - 90;
const lng = (Math.random() * 360) - 180;

Il Problema: Una fascia di 1° all’equatore misura 40.075 km, mentre a 80°N misura solo 6.950 km. La latitudine uniforme sovrastima le regioni polari del 400%.

✅ Equivalenza di Marsaglia (Nostro Algoritmo)

Verificato ed Esatto
// ✅ Marsaglia Equal-Area Sphere Math:
const u = Math.random();
const lat = Math.asin(2 * u - 1) * (180 / Math.PI);
const lng = -180 + Math.random() * 360;

La Soluzione: Campionare il seno della latitudine sin(θ) compensa la riduzione cos(lat). Ogni chilometro quadrato ha identica probabilità.

1. L’Errore Fondamentale del Modello Rettangolare

Su una mappa 2D (come Mercatore), la Terra appare come un rettangolo piatto con latitudine da -90° a +90° e longitudine da -180° a +180°.

Molti tutorial consigliano di generare coordinate con formule piane:

// ❌ Naive algorithm (Suffers from polar bias bug)
const latitude = (Math.random() * 180) - 90;
const longitude = (Math.random() * 360) - 180;

Anche se questo codice produce numeri validi, presuppone che tutte le fasce di latitudine abbiano la stessa area. Su una sfera reale, la circonferenza si riduce con il coseno della latitudine:

Circumference(θ) = 2πR · cos(θ)

All’equatore (0°), la circonferenza è di 40.075 km. A 80° Nord, si riduce a soli 6.950 km. L’algoritmo piatto concentra 5,7 volte più punti ai poli che all’equatore!

2. La Trasformazione Sferica Equivalente di Marsaglia

Per distribuire uniformemente i punti sulla sfera, la densità di probabilità deve essere proporzionale all’elemento differenziale di superficie:

dA = R² · cos(θ) dθ dφ = R² · d(sin θ) dφ

Poiché l’elemento di area è proporzionale a d(sin θ), campioniamo sin(θ) uniformemente nell’intervallo [-1, 1]:

// ✅ Correct Archimedes-Lambert-Marsaglia equal-area algorithm:
function getRandomSpherePoint() {
  const u = Math.random(); // Uniform in [0, 1)
  const v = Math.random(); // Uniform in [0, 1)

  // Invert the cumulative distribution function:
  const sinLat = 2 * u - 1; // Uniform in [-1, 1]
  const latRad = Math.asin(sinLat); // In radians
  const lat = latRad * (180 / Math.PI); // In degrees [-90, +90]

  const lng = -180 + v * 360; // In degrees [-180, +180]

  return { lat, lng };
}

Questa elegante trasformazione assicura che ogni chilometro quadrato sulla Terra abbia esattamente la stessa probabilità di essere selezionato.

3. Campionamento per Rifiuto su Terraferma e PRNG Deterministico

Circa il 71% della Terra è oceano. Quando l’utente sceglie solo terraferma, usiamo il campionamento per rifiuto:

  1. Generare un punto sferico equivalente.
  2. Verificare la posizione rispetto ai poligoni continentali.
  3. Se cade in mare, scartare e rigenerare fino a un massimo di 250 tentativi.

Per garantire la riproducibilità, il motore combina un hash cyrb53 a 53 bit con il PRNG mulberry32 a 32 bit, assicurando risultati deterministici al 100%.