1. 平面矩形仮定の根本的な幾何学的欠陥

メルカトルなどの2次元平面地図では、地球は緯度-90°〜+90°、経度-180°〜+180°の平らな長方形として描かれます。

多くの初級チュートリアルでは次のような単純な式が紹介されています：

// ❌ Naive algorithm (Suffers from polar bias bug)
const latitude = (Math.random() * 180) - 90;
const longitude = (Math.random() * 360) - 180;

このコードは一見正しく見えますが、すべての緯度帯が同じ物理面積を持つと誤認しています。実際の球体では緯度線の長さはcos(緯度)で縮みます：

Circumference(θ) = 2πR · cos(θ)

赤道（0°）の全周は約40,075kmですが、北緯80°ではわずか6,950kmです。単純な平面乱数では、北極周辺の点の密度が赤道の5.7倍にも膨れ上がってしまいます！

2. Marsaglia等面積球面正弦変換アルゴリズム

球面上に均一な点を生み出すには、確率密度を表面積の微小要素に正確に比例させる必要があります：

dA = R² · cos(θ) dθ dφ = R² · d(sin θ) dφ

微小面積要素はd(sin θ)に比例するため、[-1, 1]の範囲でsin(θ)を一様にサンプリングします：

// ✅ Correct Archimedes-Lambert-Marsaglia equal-area algorithm:
function getRandomSpherePoint() {
  const u = Math.random(); // Uniform in [0, 1)
  const v = Math.random(); // Uniform in [0, 1)

  // Invert the cumulative distribution function:
  const sinLat = 2 * u - 1; // Uniform in [-1, 1]
  const latRad = Math.asin(sinLat); // In radians
  const lat = latRad * (180 / Math.PI); // In degrees [-90, +90]

  const lng = -180 + v * 360; // In degrees [-180, +180]

  return { lat, lng };
}

この美しい数学的変換により、地球上のすべての1平方キロメートルが全く等しい確率で選ばれることが保証されます。

3. 陸地棄却サンプリングとPRNG確定再現性

地球表面の約71%は海です。「陸地のみ」が選択された場合、効率的な棄却サンプリングを行います：

等面積な球面座標点を1つ生成。
大陸ポリゴン境界データと高速交差判定。
海洋上にある場合は破棄し、最大250回まで自動再生成。

研究や再現のために、53ビットのcyrb53ハッシュと32ビットのmulberry32乱数生成器を組み合わせ、同一シードから100%同一の結果を保証します。

ランダム地理座標の仕組み：球面の真実

等面積球面分布 vs. 極地密集のバグ

❌ 単純な平面乱数（競合ツールの欠陥）

✅ Marsaglia等面積変換（当サイトの方式）

1. 平面矩形仮定の根本的な幾何学的欠陥

2. Marsaglia等面積球面正弦変換アルゴリズム

3. 陸地棄却サンプリングとPRNG確定再現性